前言

樹是數據結構中的重中之重，尤其以各類二叉樹為學習的難點。一直以來，對于樹的掌握都是模棱兩可的狀態，現在希望通過寫一個關于二叉樹的專題系列。在學習與總結的同時更加深入的了解掌握二叉樹。本系列文章將著重介紹一般二叉樹、完全二叉樹、滿二叉樹、線索二叉樹、霍夫曼樹、二叉排序樹、平衡二叉樹、紅黑樹、B樹。希望各位讀者能夠關注專題，并給出相應意見，通過系列的學習做到心中有“樹”。

1.重點概念

1.1 結點概念

結點是數據結構中的基礎，是構成復雜數據結構的基本組成單位。

1.2 樹結點聲明

本系列文章中提及的結點專指樹的結點。例如：結點A在圖中表示為：

2樹

2.1 定義

樹（Tree）是n（n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹。在任意一顆非空樹中：

1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點；

2）當n>1時，其余結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹。

此外，樹的定義還需要強調以下兩點：

1）n>0時根結點是唯一的，不可能存在多個根結點，數據結構中的樹只能有一個根結點。

2）m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的。

示例樹：

圖2.1為一棵普通的樹：

圖2.1 普通樹

由樹的定義可以看出，樹的定義使用了遞歸的方式。遞歸在樹的學習過程中起著重要作用，如果對于遞歸不是十分了解，建議先看看遞歸算法

2.2 結點的度

結點擁有的子樹數目稱為結點的度。

圖2.2中標注了圖2.1所示樹的各個結點的度。

圖2.2 度示意圖

2.3 結點關系

結點子樹的根結點為該結點的孩子結點。相應該結點稱為孩子結點的雙親結點。

圖2.2中，A為B的雙親結點，B為A的孩子結點。

同一個雙親結點的孩子結點之間互稱兄弟結點。

圖2.2中，結點B與結點C互為兄弟結點。

2.4 結點層次

從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層，以此類推。

圖2.3表示了圖2.1所示樹的層次關系

圖2.3 層示意圖

2.5 樹的深度

樹中結點的最大層次數稱為樹的深度或高度。圖2.1所示樹的深度為4。

3.二叉樹

3.1 定義

二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹組成。

圖3.1展示了一棵普通二叉樹：

圖3.1 二叉樹

3.2 二叉樹特點

由二叉樹定義以及圖示分析得出二叉樹有以下特點：

1）每個結點最多有兩顆子樹，所以二叉樹中不存在度大于2的結點。

2）左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。

3）即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

3.3 二叉樹性質

1）在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個節點 。（i>=1）

2）二叉樹中如果深度為k,那么最多有2k-1個節點。(k>=1）

3）n0=n2+1  n0表示度數為0的節點數，n2表示度數為2的節點數。

4）在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。

5）若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為 i 的結點有如下特性：

(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 否則，編號為 [i/2] 的結點為其雙親結點;

(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子，  否則，編號為 2i 的結點為其左孩子結點；

(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點，  否則，編號為2i+1 的結點為其右孩子結點。

3.4 斜樹

斜樹：所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結點都是只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統稱為斜樹。

圖3.2 左斜樹

圖3.3 右斜樹

3.5 滿二叉樹

滿二叉樹：在一棵二叉樹中。如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

滿二叉樹的特點有：

1）葉子只能出現在最下一層。出現在其它層就不可能達成平衡。

2）非葉子結點的度一定是2。

3）在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多。

圖3.4 滿二叉樹

3.6 完全二叉樹

完全二叉樹：對一顆具有n個結點的二叉樹按層編號，如果編號為i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

圖3.5展示一棵完全二叉樹

圖3.5 完全二叉樹

特點：

1）葉子結點只能出現在最下層和次下層。

2）最下層的葉子結點集中在樹的左部。

3）倒數第二層若存在葉子結點，一定在右部連續位置。

4）如果結點度為1，則該結點只有左孩子，即沒有右子樹。

5）同樣結點數目的二叉樹，完全二叉樹深度最小。

注：滿二叉樹一定是完全二叉樹，但反過來不一定成立。

3.7 二叉樹的存儲結構

3.7.1 順序存儲

二叉樹的順序存儲結構就是使用一維數組存儲二叉樹中的結點，并且結點的存儲位置，就是數組的下標索引。

圖3.6

圖3.6所示的一棵完全二叉樹采用順序存儲方式，如圖3.7表示：

圖3.7 順序存儲

由圖3.7可以看出，當二叉樹為完全二叉樹時，結點數剛好填滿數組。

那么當二叉樹不為完全二叉樹時，采用順序存儲形式如何呢？例如：對于圖3.8描述的二叉樹：

圖3.8.png

其中淺色結點表示結點不存在。那么圖3.8所示的二叉樹的順序存儲結構如圖3.9所示：

圖3.9

其中，∧表示數組中此位置沒有存儲結點。此時可以發現，順序存儲結構中已經出現了空間浪費的情況。

那么對于圖3.3所示的右斜樹極端情況對應的順序存儲結構如圖3.10所示：

圖3.10

由圖3.10可以看出，對于這種右斜樹極端情況，采用順序存儲的方式是十分浪費空間的。因此，順序存儲一般適用于完全二叉樹。

3.7.2 二叉鏈表

既然順序存儲不能滿足二叉樹的存儲需求，那么考慮采用鏈式存儲。由二叉樹定義可知，二叉樹的每個結點最多有兩個孩子。因此，可以將結點數據結構定義為一個數據和兩個指

針域。表示方式如圖3.11所示：

圖3.11

定義結點代碼：

typedef struct BiTNode{

    TElemType data;//數據

    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指針

} BiTNode, *BiTree;

則圖3.6所示的二叉樹可以采用圖3.12表示。

圖3.12

圖3.12中采用一種鏈表結構存儲二叉樹，這種鏈表稱為二叉鏈表。

3.8 二叉樹遍歷

二叉樹的遍歷一個重點考查的知識點。

3.8.1 定義

二叉樹的遍歷是指從二叉樹的根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得每個結點被訪問一次，且僅被訪問一次。

二叉樹的訪問次序可以分為四種：

前序遍歷

中序遍歷

后序遍歷

層序遍歷

3.8.2 前序遍歷

前序遍歷通俗的說就是從二叉樹的根結點出發，當第一次到達結點時就輸出結點數據，按照先向左在向右的方向訪問。

3.13

圖3.13所示二叉樹訪問如下：

從根結點出發，則第一次到達結點A，故輸出A;

繼續向左訪問，第一次訪問結點B，故輸出B；

按照同樣規則，輸出D，輸出H；

當到達葉子結點H，返回到D，此時已經是第二次到達D，故不在輸出D，進而向D右子樹訪問，D右子樹不為空，則訪問至I，第一次到達I，則輸出I；

I為葉子結點，則返回到D，D左右子樹已經訪問完畢，則返回到B，進而到B右子樹，第一次到達E，故輸出E；

向E左子樹，故輸出J；

按照同樣的訪問規則，繼續輸出C、F、G；

則3.13所示二叉樹的前序遍歷輸出為：

ABDHIEJCFG

3.8.3 中序遍歷

中序遍歷就是從二叉樹的根結點出發，當第二次到達結點時就輸出結點數據，按照先向左在向右的方向訪問。

圖3.13所示二叉樹中序訪問如下：

從根結點出發，則第一次到達結點A，不輸出A，繼續向左訪問，第一次訪問結點B，不輸出B；繼續到達D，H；

到達H，H左子樹為空，則返回到H，此時第二次訪問H，故輸出H；

H右子樹為空，則返回至D，此時第二次到達D，故輸出D；

由D返回至B，第二次到達B，故輸出B；

按照同樣規則繼續訪問，輸出J、E、A、F、C、G；

則3.13所示二叉樹的中序遍歷輸出為：

HDIBJEAFCG

3.8.4 后序遍歷

后序遍歷就是從二叉樹的根結點出發，當第三次到達結點時就輸出結點數據，按照先向左在向右的方向訪問。

圖3.13所示二叉樹后序訪問如下：

從根結點出發，則第一次到達結點A，不輸出A，繼續向左訪問，第一次訪問結點B，不輸出B；繼續到達D，H；

到達H，H左子樹為空，則返回到H，此時第二次訪問H，不輸出H；

H右子樹為空，則返回至H，此時第三次到達H，故輸出H；

由H返回至D，第二次到達D，不輸出D；

繼續訪問至I，I左右子樹均為空，故第三次訪問I時，輸出I；

返回至D，此時第三次到達D，故輸出D；

按照同樣規則繼續訪問，輸出J、E、B、F、G、C，A；

則圖3.13所示二叉樹的后序遍歷輸出為：

HIDJEBFGCA

雖然二叉樹的遍歷過程看似繁瑣，但是由于二叉樹是一種遞歸定義的結構，故采用遞歸方式遍歷二叉樹的代碼十分簡單。

遞歸實現代碼如下：

/*二叉樹的前序遍歷遞歸算法*/

void PreOrderTraverse(BiTree T)

{

    if(T==NULL)

    return;

    printf("%c", T->data);  /*顯示結點數據，可以更改為其他對結點操作*/

    PreOrderTraverse(T->lchild);    /*再先序遍歷左子樹*/

    PreOrderTraverse(T->rchild);    /*最后先序遍歷右子樹*/

}

/*二叉樹的中序遍歷遞歸算法*/

void InOrderTraverse(BiTree T)

{

    if(T==NULL)

    return;

    InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍歷左子樹*/

    printf("%c", T->data);  /*顯示結點數據，可以更改為其他對結點操作*/

    InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍歷右子樹*/

}

/*二叉樹的后序遍歷遞歸算法*/

void PostOrderTraverse(BiTree T)

{

    if(T==NULL)

    return;

    PostOrderTraverse(T->lchild);   /*先后序遍歷左子樹*/

    PostOrderTraverse(T->rchild);   /*再后續遍歷右子樹*/

    printf("%c", T->data);  /*顯示結點數據，可以更改為其他對結點操作*/

}

3.8.5 層次遍歷

層次遍歷就是按照樹的層次自上而下的遍歷二叉樹。針對圖3.13所示二叉樹的層次遍歷結果為：

ABCDEFGHIJ

3.8.6 遍歷常考考點

對于二叉樹的遍歷有一類典型題型。

1）已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，確定一棵二叉樹。

例題：若一棵二叉樹的前序遍歷為ABCDEF，中序遍歷為CBAEDF，請畫出這棵二叉樹。

分析：前序遍歷第一個輸出結點為根結點，故A為根結點。早中序遍歷中根結點處于左右子樹結點中間，故結點A的左子樹中結點有CB，右子樹中結點有EDF。

如圖3.14所示：

圖3.14

按照同樣的分析方法，對A的左右子樹進行劃分，最后得出二叉樹的形態如圖3.15所示：

圖3.15.png

2）已知后序遍歷序列和中序遍歷序列，確定一棵二叉樹。

后序遍歷中最后訪問的為根結點，因此可以按照上述同樣的方法，找到根結點后分成兩棵子樹，進而繼續找到子樹的根結點，一步步確定二叉樹的形態。

注：已知前序遍歷序列和后序遍歷序列，不可以唯一確定一棵二叉樹。

4.結語

通過上述的介紹，已經對于二叉樹有了初步的認識。本篇文章介紹的基礎知識希望讀者能夠牢牢掌握，并且能夠在腦海中建立一棵二叉樹的模型，為后續學習打好基礎。